Родился в селе Костино Галичского уезда Ярославской губернии.

Окончил школу фабрично-заводского обучения при Ленинградском Металлическом заводе в 1928 году, а в 1936 году без отрыва от производства окончил ВТУЗ при ЛМЗ. В 1938 году Александр Акимович был командирован в Англию для освоения турбинного производства и приемки станочного оборудования, необходимого для расширения турбостроения. На ЛМЗ работал токарем, конструктором, начальником технического отдела. С июля 1942 по апрель 1943 года —  инструктор Калининского РК ВКП(б) Ленинграда. Во время войны Александр Акимович вернулся на завод, где стал начальником инструментального цеха (1943–1947). В военные годы особенно проявился его организаторский талант: он сумел наиболее эффективно распределить кадры и организовать бесперебойное производство. Александр Акимович наладил в своем цехе выпуск мин, снарядов, сопел, отдельных деталей для танков «KB»; много сделал для восстановления завода и возобновления турбинного производства.

Учитывая производственный опыт, организаторские способности, высокую инженерную грамотность Министерством тяжелого машиностроения Совета народного хозяйства Ленинградского экономического района Аракчеев был назначен директором завода «Экономайзер» (1947–1954), позднее — директором Невского машиностроительного завода им. Ленина (1954–1957), а с 1957 по 1960 год он трудился в должности директора Ленинградского Металлического завода. В должности директора ЛМЗ Александр Акимович способствовал выходу завода на международный рынок. Были изготовлены паровые турбины для Польши (ГРЭС «Скавина»), Румынии (ГРЭС «Борзешти» и «Петрошань»), для ГРЭС Китая; гидравлические турбины для Индии (ГЭС «Хиракуд»), Польши (Дыховская ГЭС), Китая (ГЭС «Фыньмань», «Саньмынься»).

Было освоено производство газовых турбин типа ГТ-12 и ГТ-25-700. Изготовлена и получила мировое признание паровая турбина мощностью 200 МВт (1958), которая, как и агрегаты для Братской и Волжской ГЭС им. Ленина, на Международной выставке в Брюсселе были удостоены Гран-при (1958). В 1957 году за успехи в развитии отечественного энергомашиностроения и в связи со 100-летием Ленинградский Металлический завод награжден орденом Ленина. Александр Акимович Аракчеев был награжден орденом Ленина (1957), орденом «Знак Почета» (1944).