Анатолий Паршин, будучи курсантом Ленинградского пехотного училища им. Кирова, получил боевое крещение зимой 1941 года под Москвой, где командовал взводом. После тяжелого ранения был демобилизован с инвалидностью.

Работал служащим в Московском энергетическом институте. В 1945–1951 годах — студент энергомашиностроительного факультета этого института, окончил его со специальностью инженера-механика по котлостроению. Получил направление в Таганрог и с 1951 года работал на заводе «Красный котельщик». Прошел путь от инженера-конструктора (в 1951 году) до главного инженера (в 1960 году) и директора (в 1975 году). С 1976 по 1987 год — генеральный директор объединения. 

С 1961 года завод начал изготавливать новые прямоточные котлы паропроизводительностью 950 тонн в час. В их освоении Паршин принимал самое непосредственное участие. В 1964 году на Славянской ГРЭС был установлен первый котел-гигант производительностью 2500 тонн пара в час. 

В 1971 году впервые в практике отечественного котлостроения был изготовлен парогенератор с газоплотными панелями для Киришской ГРЭС. В 1978 году был произведен первый в Европе котел паропроизводительностью 3950 тонн в час для Костромской ГРЭС. Росли производственные мощности самого «Красного котельщика». Вводились в строй трубоблочный № 1, трубоблочный № 5, цех теплообменных аппаратов. Строились объекты соцкультбыта — детский комбинат № 41, ясли-сад № 51, учебный корпус ГПТУ-24, заводская поликлиника, открытый плавательный бассейн и другие объекты. Было сдано в эксплуатацию 20 жилых домов (2041 квартира). 

Паршин — автор 104 научных работ в области энергомашиностроения, имел 68 авторских свидетельств, из которых 20 внедрены в производство, также ему принадлежат 15 рационализаторских предложений. Диссертация «Исследование и совершенствование технологии изготовления парогенераторов большой мощности» была признана докторской. За большой вклад в развитие отечественного машиностроения в XI пятилетке А.А. Паршину присвоено звание «Герой Социалистического Труда» с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот». Награжден орденами Ленина, тремя орденами Трудового Красного Знамени, Отечественной войны I степени, Дружбы народов, медалью «За отвагу» и другими наградами. С 1981 года — профессор кафедры парогенераторостроения Новочеркасского политехнического института.